Fa'ailoga masani

$$2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9.$$

O se molipi o le taugofiega o ni suiga (pe o le kuriva o le iga) i lea i le vaega uma ua fa'atino ai le tele o ni suiga o le ulufalega 1 tauina - Vaai foi: 68–95–99.7 fa'atino.

Fa'atupu fa'aopoopoina o se tufatufaga masani ma le tau fa'amoemoeina 0 ma le va'aiga masani 1

I le su’esu’e, le fa’amaoniga matuā o se mea faʻataʻitaʻiga e fa’aaogaina mo le fuafuaga pe aisea e tuʻuina ai pe aisea e faʻaaogaina ai le isi tulaga o mea.[1] O le su’esu’e tele e fa’apea o le vaega o le laʻititi poʻo le tafa e fa’atautaia ai nisi o fesili.[1] O le su’esu’e tele lea na faʻaaogaina ina ia faʻapea lea o le mafuaaga na tatau ona ia teuteu i le itu o le meana (peita’i o le manaʻomia o le aʻafiaga) o le mea, ae maise o le su’esu’e tele, o le mafuaaga na faʻapea lea o le tafa e faʻatautaia ai nisi o fesili e pei ona uma i luga o se lona laʻititi.

E mafai ona su’esu’eina le su’esu’e tele i le SD, ma o se faʻailoga masani i tusi aloaia ma mea mataupu e faʻaaogaina ai le itulau o le sigana Greeki ma le 'σ' (sigma), mo le su’esu’e tele o le atunuu, poʻo le itulau o le li’a, mo le su’esu’e tele o le amo.

Le su’esu’e tele o se mea o loo faitauina ai le varaieti o se mea, sae le tuʻuina le su’esu’e matuā o le mea o le tele. O lea o se ata o le alamuiti lea lē malilie, ae i le aufaigaluega lagona, e lē faʻamoemoe. [2][3] O se aʻoaʻo na iai le su’esu’e tele o se mea e le mafai ona amatalia lea e le valaʻau ma le data.

O le fa'agaioiga fa'atupu o se populasi po'o se sāmple ma le fa'agaioiga o se setatistic (e.g., o le sāmple mean) o lo'o mātuā ma le fa'ailoa o lelei. O le fa'agaioiga lelei o le mean o le sāmple o le standard error o le population, e le'i tatau ona vaega i le standard deviation o le setā o mea na fa'asaoina ma le fai se mean mo ia sāmple. O le standard error o le mean e fa'apea atu i le population standard deviation fa'atasi ai ma le square root o le malo sāmple, ma e a'oa'oina i le a'oa'oina o le sāmple standard deviation fa'atasi ai ma le square root o le malo sāmple. E tasi lelei, o le standard error o se poll (e fa'apipii ai le margin o le error o le poll), o le fa'agaioiga lelei na mafai ai ona fa'ailoa le standard deviation o le mean na fa'ailoa pe a te faia ai le poll e tele vaega. Ia manatua, o le standard error e mafai ona fa'ailoa le standard deviation o se fa'aiuga, e tasi fo'i na mafai ai ona fa'apea atu pe a molia le fa'aiuga e tasi mai le populasi.

I le tamaoaiga, o le matamata fa'atino e fa'ailoa ai le fa'agaioiga o le data (e tasi leaga ma le sāmple taimi) ma le fa'agaioiga o le estimate (e tasi leaga ma le mafua'aga o le fa'aiuga). E fa'amaonia ona ia fa'ailoa atu pe a molia lea e tasi leaga, o lo'o atagia ai i totonu o le lua leaga e o i ai ma le mea e le'i fa'amaonia, o le a leai se "statistically significant", o se fa'atapulaiga i le vafealoa'i i luma o le leaga i totonu o se matafaioi leaga na mafua ai ma le malamalama o le mafai e avea ai ma le fa'apipii o le sampuli e pei ona atagia ai e le upu a le null.

Ina ua iai le sāmple o data mai le populasi, o le upu "standard deviation" o le sāmple po'o le sample standard deviation e mafai ona fa'apea atu i le taua luga, e tusa ma le fa'agaioiga a luga i ai ma le latou data, po'o se taua fa'apipi'i na mafai ona fa'ailoa e a'oa'oina ai le standard deviation o le populasi (le fa'agaioiga o le populasi atoa).

Fa'ata'ita'iga fa'avae

Fuainumera masani o le faitau aofa'i o togi o tamaiti e to'avalu

Aumoega atu o le fa'agaioiga o le populasi atoa, o leitioata o le fa'agaioiga o le populasi e mafai ona mauaina ma le faitauina o le square root o le avea o le tali o lea mea na faitauina e avea ai ma le avea o le tali o mea ua tu'uina mai i le uta'i o lea mea na faitauina. O a lea, o tagata vala'au a le tulaga o le fa'agaioiga o le populasi atoa o vala'au i lalo:

$$\mu ={\frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}={\frac {40}{8}}=5.$$

O nei valu e wara i le lenei, e i ai le mea (average) o le 5:

$${\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16.\\\end{array}}$$

E tu'u atu lelei, ia a'oa'oina le tu'ugamalu o le tulaga uma mai le mea, ma fa'ate'a atu le tu'ugamalu o le tulaga uma mai le mea i le pito ma le result o lea:

$$\sigma ^{2}={\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}={\frac {32}{8}}=4.$$

O le variensa e le o le mea o nei valu:

$$\sigma ={\sqrt {4}}=2.$$

ma o le fa'agaioiga o le populasi e tasi leaga ai le square root o le variensa:

$$\mu \equiv \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x$$

E fa'amaopoopo lava le fa'atonutonu lenei i le taimi lava e tu'u atu ai i ai maualuga valu na aloa'i ai lelei le naunauta. Afai o le manatu na aloa'i i ai, o se la'auiloa e filifili mai le tagata e i ai lea malamalama (ma fa'apea foi, o lo'o iai 8 tagata e filifilia atu mai se kosi matutua o le 2 miliona), ona o lea, o lea e aofia ai i le 7 (o le n - 1) i le totonu o le lauelee na, ae le 8 (o le n) o le totonu o le fa'afitauli muamua, ma o le tulaga o lelei o lea e s = 32/7 ≈ 2.1.

I lea taimi, o le tulaga o le fa'afitauli asiasia o le muamua o le lauelee o lea e tapunia ai le saini fa'atupu ma fa'amauina i le saini fa'atupu o lea e sainia ai le σ. O le fa'atonuina o le n - 1 i se taimi e le n e fa'afitaulia ai le saini fa'atupu, e solosolo fa'atino ai le tu maualuga o le fa'atupu o le kosi matutua. O lenei lea o le Bessel's correction. Fa'apea ai ma le tupe na feso'ota'i ai i ai, o le lelei o lea ona o le fa'afitauli o le kosi matutua, o lea ua fa'atino i ai le fa'afitauli e fa'amauina i le fa'afitauli o lea naunauta.

Fua'iga masani o le maualuga maualuga mo alii matutua

$$\sigma \equiv {\sqrt {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}}={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{2}f(x)\,\mathrm {d} x}},$$

Pe afai e avea le lauelee o le i'uga i le nu'u o lo'o teuteuina ai, o le fa'atupu o le saini fa'atupu e fa'atagaina ai le malosi o tagata i luga ma i lalo o isi vaega o le nu'u. Mo le fa'amatalaina, o le tele o le taumafataga o tagata ta'itasi i le United States, o le a avea ma le 70 inisi, ma le saini fa'atupu e 3 inisi. O lea na fai mai e fa'apea, o le taumafataga o tagata e le uma lelei (e le'i aofia e 68%, pe a iloilo fa'atasi ai le fa'atupu o le saini e mafai ona vave) e i ai se taumafa inisi i totonu o 3 inisi mai le malosi (67–73 inisi) - se saini fa'atupu tuai ona - ma ia le'i aofia ni tagata (e le'i aofia e 95%) e i ai se taumafa inisi i totonu o 6 inisi mai le malosi (64–76 inisi) - lua saini fa'atupu. Afai o le saini fa'atupu e leai se mea, ona o ni tagata uma e le'i aofia ni 70 inisi. Afai o le saini fa'atupu e 20 inisi, ona o le aofia o ni tagata e le'i leaga tagata, ma se tau o ni tagata e malosi atu e avea ma le 50–90 inisi. O lua saini fa'atupu e alu i le 99.73% o le nu'u o le fa'atupu sa'ilua, pe a filifili mai le fa'atupu o lea e iloilo ai e le o se vaega (vaega) vaega (68–95–99.7) po'o le tulaga o le naunauta, mo nisi fa'amatalaga.

Fa'amatalaga o tau o tagata

Ia μ le tau e fa'apea (le malosi) o le tautua vaivai X ma le tofa f(x):

$$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left[(x_{1}-\mu )^{2}+(x_{2}-\mu )^{2}+\cdots +(x_{N}-\mu )^{2}\right]}},{\text{ where }}\mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N}),$$

O le fa'atupu o le saini σ o X na fa'amatala:

$$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}},{\text{ where }}\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}.$$

lea e mafai ona faaalia e tutusa ${\textstyle {\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}}}.}$

E mafai ona toe tusa ai le saini fa'atupu i le va o le toso o le mea ua tuʻufaʻatasiga ai le a se mafaufau aofaiga ma le saini o le mea ua tuʻufaʻatasiga:

O le fa'atupu o le saini mo se fa'atupu o le auina o le faleupolu o se tautua e le o le mea e pei ona leai se vaega o se tautua e i ai.

E le o se mea uma lava na o le mea e pei ona leai se saini fa'atupu i nisi o vaega vaivai. Afai o le faleupolu na i ai tupe tu'ufa'atasiga e o atu i le isi, e leai se saini fa'atupu, ona o le leaga o le vaega e leai se fa'aiuga. O le faleupolu normal na o le tala e o atu i le isi, ae o le μ ma le σ na tu'i, ona o le tala na aga'i aunoa mai i luga. O le faleupolu Pareto ma le paramita 𝛼 ∈ (1, 2] e na o le tala, ae leai se saini fa'atupu (pe a tapunia, o le saini fa'atupu o lea e leaga). O le faleupolu Cauchy e leai se tala po'o se saini fa'atupu.

Fa'asolo fa'afuase'i

I le taimi o le X na maua ai nisi valu mai le suafa tu'ufa'atasiga x1, x2, ... x1, x2, ..., ma ia valu na i ai le mea e leai ni tupe i ai, o le fa'atupu o le saini na naunau.

$$\sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}},{\text{ where }}\mu =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}.$$

pe a fa'aaoga le su'ega,

$$\sigma ={\sqrt {\int _{\mathbf {X} }(x-\mu )^{2}\,p(x)\,\mathrm {d} x}},{\text{ where }}\mu =\int _{\mathbf {X} }x\,p(x)\,\mathrm {d} x,$$

pe a leai se fa'atumauina o ni tau i luga, e maua ai ni tau fa'apitoa, ia x1 e maua ai le tau p1, ia x2 e maua ai le tau p2, ... p2, ... e maua ai le tau pN. I lea taimi, o le fa'atupu o le saini e fa'aaogā ai lea tau:

σ=p1​(x1​−μ)2+p2​(x2​−μ)2+…+pN​(xN​−μ)2​

O lea na fa'atuina i luga o le tu'uga taua.

$$s_{N}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},$$

Fesuia'i fa'asolosolo fa'asolosolo

E leai se saini fa'atupu i se vaega o se vaivai vaivai o le tau tu'ufa'atasiga X e aofia ai le fa'atupu o le tau.

$$s^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}.$$

ma le feutaga o lenei, o ia o le toonai tu'ufa'atasiga na teuteuina i luga o le a ala atu ai le tau X.

Ia le taimi o se aiga o tautua tu'ufa'atasiga, e mafai ona fa'aaogā le fa'atupu o le saini ma ni saini. Mo se fa'atupu, i le taimi o le faleupolu loga-naunau ma paramita μ ma σ2, o le fa'atupu o le saini e fa'apea ai:

$$s={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.$$

Fa'atatau

$$c_{4}(N)\,=\,{\sqrt {\frac {2}{N-1}}}\,\,\,{\frac {\Gamma \left({\frac {N}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {N-1}{2}}\right)}}.$$

O se tasi e mafai ona mauaina le fa'atupu o le saini i le nu'u atoa i galuega (e pei o le galuega taua) ma se ituaiga o le nu'u na filifilia. I galuega ma galuega e le mafai ona faia ai lenei, o le fa'atupu o le saini σ e fai mai i le feso'ota'i o se sampulu talafeagai mai le nu'u ma le fa'ateleina o se tusitusiga o le sampulu, lea na fa'aaogā e fa'aaogā lea i le fa'amauina o le fa'atupu o le saini o le nu'u. O lea tusitusiga o le sampulu e numera lea o se fa'amau, ma e nonofo i lea tusitusiga (po'o le valu o le tusitusiga, o le a leai se fa'atele) e numera lea o le fa'atupu o le saini o le nu'u. O se tusitusiga e numera lea o se mea fa'atonu, ma o lenei tusitusiga (po'o le tau o le tusitusiga, ua pepelo lea tusitusiga) e numera lea o le fa'atupu o le saini o le nu'u, ma ua to'eseina i le s.

Inā ia tusa ai le faʻasoaʻoina o le tau o le nuʻu, ina ia maua ai le nuʻu tau, o le nuʻu tau o le sampulu o se faʻatulaga e faʻaogaina ai ni agavaʻa e leʻo taʻutaʻua (e leai ni se galuega, leaga, le pito i le auala lea o le agavaʻa). E leai se tusitusiga tauni e faʻatupulaʻia mo le faʻatupu o le saini ma i ai nei agavaʻa uma, ma o le faʻatupu o le saini e le mafai ona mauaina uma o nei agavaʻa, ma o le faʻaaogā o le faʻatupu o le saini o le nuʻu o se galuega faʻaaoga atu e le o ni fesoʻotaiga e leʻo faia ai nei tusitusiga. Faʻaaoga atu i le mafuaʻaga lea o le saini, o le faʻatupu o le saini e mafai ona mauaina ma le faʻamauina o le faʻatupu o le saini o le sampulu (faʻaaoga atu i le N - 1), na tusia i lalo, ma o lea na toe faʻamauina e faʻaaogā i le ituaiga "faʻatupu o le saini o le sampulu", i le vaega nei. O lea tuʻuina atu i soʻo se tusitusiga ma lelei i isi mea: o le tusitusiga leʻo tatalaina (faʻaaoga atu i le N) na faʻaaoga e maua ai le suʻesuʻega ma le tapenapena lata (e leai se nofoaga, e leai leaga, e leai ni mea e leaga). e ʻavea ai le N - 1.5 (mo le nuʻu o loʻo tuʻuina) na le faʻauuina loa le faʻamoemoe.

Fa'ata'ita'iga e le'i fa'asa'oina le fa'asologa masani

O le fa'atupu mo le saini fa'atupu o le nu'u (o se nu'u taua) e mafai ona fa'aaogā i le sampulu, e fa'aaogā ai le sae o le sampulu e le gata o le sae o le nu'u (ae o le malamalama o le sae o le nu'u e taua i lea na teuteuina le sampulu), e to'a iga i ai lea tusitusiga, o le sN, na taunuu ai lea e leai se fa'ateleina i le fa'atupu o le saini o le sampulu (ua fiafia lea fa'atupu o le saini o le sampulu e taua i le nu'u atoa), ma na tusia ai i lalo:

sN​=N1​∑i=1N​(xi​−xˉ)2​

I lenei tusitusiga, N ua ta'uta'uina i le sae o le nu'u o le sampulu, xi​ ua faia ai le tu'uta'uina o le mānea, ma xˉ na faia ai le fa'atupu o le mānea o le sampulu.

$${\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{N-1.5}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},$$

Ma le taitaifono, { 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑁 } o nei tusitusiga, ma 𝑥 ¯ na faia ai le mānea o lenei mau mana'o, ae o le denominator N na maua ai le sae o le sampulu: o le ulufale o le fa'atupu o le saini o le sampulu, na tusia i lalo, o le a o lona tu'utu'uga na faia ai le fa'atupu o le mānea o le sampulu.

sN​=N1​∑i=1N​(xi​−xˉ)2​

I lenei tusitusiga, N ua ta'uta'uina i le sae o le nu'u o le sampulu, xi​ ua faia ai le tu'uta'uina o le mānea, ma xˉ na faia ai le fa'atupu o le mānea o le sampulu.

O lea tusitusiga na faʻatino ina ia ona toe foaʻi i le tau o le nuʻu e ao ina ia mulimulitaʻi le numera o samupulu e o i ai le sampulu, ma o le faʻatupu o le saini i le aʻafia lea o le sae o le sampulu o le mānea. E leʻo taʻutaʻua mo le mea lea ona na taua i luga, ma o le tusitusiga faʻatino lenei i le mea na fesiligia i lea o le nuʻu na tuʻuina i le normali distribution. Aʻo ia na tusia e, o le tusitusiga lenei na leaga, ona o le aumaia lelei o na tusitusiga ua faʻapenitia i ni agavaʻa, o le atamai o le leaga e leaga i le sae o le sampulu, e mamaʻi atu ai lea i le faafofoga o 1/N, ma o lea tuʻuina atu i lea tusitusiga i totonu o ni sae vaivai pe vaevae; mo N>75, ua maʻea ona leaga o le mea e leai se 1%. Ma ni sae vaivai e tele, o le saini faʻatupu o le sampulu lea na faʻapenei i ni tusitusiga ua faʻapenitia.

Fa'asa'o fa'ata'ita'iga sese fa'ata'atia

Afai o le tusitusiga ua leaga (o le alua fa'atupu i le leaga, o se tusitusiga leaga o le nu'u tau), o le a fa'aaogā i le fa'atupu o le saini o le nu'u, le fa'atupu o le saini o le nu'u e maua ai o lea:

$${\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{N-1.5-{\frac {1}{4}}\gamma _{2}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},$$

Ia o le fa'atupu o le onosa'i matua, e le mafai ona fa'aaogā le fa'atupu o le saini o le nu'u, ona o le mata'utia o Jensen, ona o le fa'atupu o le onosa'i matua e leai se galuega. O le leaga i le fa'atupu o le nu'u e mafai ona fa'aaogā ai, ae o le leaga mai le onosa'i matua e leaga ona o le matamata o le fa'atupu o le nu'u, ma e mafai ona fa'amauina ai, ae o le leaga o le onosa'i matua e leaga e leai se fa'agaioiga e fa'atino i ai, ma e fa'atino i le fa'atupu o le nu'u.

O se tusitusiga e le leaga mo le fa'atupu o le nu'u o le leaga, e mafai ona fa'aaogā i le fa'atupu o le nu'u o le leaga o le nu'u o le sampulu, o le a tusia i lalo o Bessel's correction, fa'aaogā atu i le N - 1 i le a fa'aaogā ai le fa'atupu o le nu'u o le leaga e leaga mo le fa'atupu o le nu'u, o le tusitusiga o le fa'atupu o le nu'u o le leaga, na tusia i lalo, o le s2:

$$\Pr \left(q_{\frac {\alpha }{2}}<k{\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}<q_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha ,$$

O le tusitusiga lenei e le leaga pe le leaga o le nu'u ma e fa'atino i ai lea tusitusiga ma le galuega e uiga i le nu'u taua taua. O N - 1 e fa'apea ai le numera o le nu'u e fa'atino ai le fa'atupu o le nu'u o le leaga, e pei o le tusitusiga o le nu'u taua, o (𝑥₁−𝑥̄, …, 𝑥ₙ−𝑥̄).

Ia o le fa'atupu o le onosa'i matua, e le mafai ona fa'aaogā le fa'atupu o le nu'u, ona o le mata'utia o le onosa'i matua e leaga ona o le galuega, (o le tasi leaga, o le onosa'i matua e le fa'agaioiga i le fa'atupu o le nu'u, ua leai ona mana'o). O le fa'atupu o le saini fa'atupu o le sampulu na fa'aaogā, na tusia i lalo, o le s:

$$\Pr \left(k{\frac {s^{2}}{q_{1-{\frac {\alpha }{2}}}}}<\sigma ^{2}<k{\frac {s^{2}}{q_{\frac {\alpha }{2}}}}\right)=1-\alpha .$$

E fa'apefea i luga, na tusia i luga, peita'i o le s2 o se tusitusiga e le leaga i le fa'atupu o le nu'u o le leaga, ae le o le s o se tusitusiga e le leaga i le fa'atupu o le nu'u o le leaga, ae leaga e leai leaga i le fa'amauina o le s2. O le tusitusiga lenei e fa'aaogā atu ma o le tusitusiga ua mafai ona iloilo atu i ai pe na o le tusitusiga ua tusia i luga, o le tusitusiga ua fa'aaogā i ai, ma ua malamalama ai loa i le "saini fa'atupu o le sampulu". O le leaga e leaga o lea, o le tata leaga mo nei sampulu (N lagona le 10) e mafai ona sili atu ai lea. A fa'aaloalo i lea, e le o le fa'apefea le leaga, e sili le leaga ma le sae o le nu'u, o le sae leaga peita'i e leai leaga. O lea e maua i ai ni fa'amatalaga ma le se mea na fa'aaogā ai ma le tautua i le galuega.

Fa'ata'ita'iga lē fa'aituau fa'aa'oa'oga fa'a'ese'ese

Mo le fa'amaoniga e le leaga mo le fa'atupu o le saini fa'atupu o le nu'u, e leai se fomula e mafai ona fa'aaogā i le vaiaso uma, peita'i mo le mānea ma le leaga. Atonu o le s, e fa'aaogā atu e le fa'aaogā, ma e taele i se faktō o le fa'atupu e fa'atino le leaga. I le nu'u normali, o se tusitusiga e leaga ai o lo'o fa'apea ai le s/c4, ma o lea e sili atu ai i le tōlua o le fa'atupu (o lea e mafai ona tautuaina ai e N) ua i ai le fa'atino i le tu'utu'uga o le Gamma, ma e galulue i ai:

c4​=N−12​​⋅Γ(2N−2​)Γ(2N−1​)​

I lenei, Γ(x) na fa'aaogā mo le gamma function. O le faktō fa'atino leaga lenei o le saini fa'atupu o le sampulu ina ia fa'atino ai le leaga o le nu'u o le saini fa'atupu.

$$s(X)={\sqrt {\frac {N}{N-1}}}{\sqrt {\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]}}.$$

O lea na mafai ai ona ala i le feso'ota'iga taua o le saini fa'atupu o le sampulu, ua mafai ona faia i se distribution chi (fa'atino) ma o le faktō fa'atino leaga na fa'atino ai le tu'utu'uga o le chi distribution.

O se malamalama e mafai ona tuuina atu e pei ona fa'alauiloaina le N - 1 i le N - 1.5, ma o lea e maua ai:

$${\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-{\bar {x}}^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)^{2}}},$$

O le leaga i lenei malamalama o le tusitusiga na fa'alauiloa ai, ua solosolo leaga (e leai ni tolu), ma e tata lea i ni sampulu, po'o le matamata o le malosi: mo N = 3, o le leaga e 1.3%, ma mo N = 9, o le leaga e leai ni 0.1%.

O se malamalama e mafai ona tuuina atu e pei ona fa'alauiloaina le N - 1.5 i luga o le N - 1.5 + 1/8(N - 1), ma o lea e maua ai:

Mo isi nu'u taua, o le fomula e tatau ona fa'atumauina i le nu'u taua, ae o se uo lea e fa'aaoga ai le fa'alauiloaina o le malamalama:

$${\begin{aligned}\sigma (c)&=0\\\sigma (X+c)&=\sigma (X),\\\sigma (cX)&=|c|\sigma (X).\end{aligned}}$$

I lea na tālā ai le γ2 na tusia ai le nu'u o le nu'u tau, na mafai ona iloilo ai le γ2 mai le tatau taua pe o lo'o ia mafai ona iloilo mai le data.

Vava fa'atuatuaina o se fa'ata'ita'iga fa'ata'ita'iga sese

O le fa'atupu o le saini fa'atupu o le sampulu na faia ai, e leai se mea e taua ai, ona o galuega matematika (ua fa'ailoilo i lenei i luga o le confidence interval) ma galuega o le mafaufau (mefaʻaʻai i tupe o le lā). O le auāleāliʻi o le mea matematika e mafai ona faʻailoilo i le faʻagaluega o le confidence interval, pe CI.

Mo le faʻasaʻolotoina o le a se sampulu e mātoa ai ona ia lētatau le confidence interval, faʻaaoga ai ni faamaumauga o loʻo taua:

O se nuʻu itiiti e N=2, e leai ni sae mo le faʻatupu o le saini faʻatupu o le sampulu. O lea na maua ai se 95% CI o le SD mai le 0.45×SD i le 31.9×SD. O lea ni faʻatoʻaga o le mea na faʻaaogā:

0.45=1−4(2−1)2​​ 31.9=2(2−2)2(22−1)​​

O ni faʻatoaga faʻaleaganuu o le lautele ma le sae o le nuʻu o le saini faʻatupu o le sampulu.

$$\sigma (X+Y)={\sqrt {\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} (Y)+2\,\operatorname {cov} (X,Y)}}.\,$$

Ua faʻailoilo mai lenei, qp​ e sili atu ai i le p-th quantile o le distribution chi-square ma k degrees of freedom, ma 1 - α e le galuega o le tuʻufaʻatasiga. O lea e amatalia pe a sili lea i le: q2α​,k​ ma le: q1−2α​,k​ Toaʻaga sa fai mai le distributi i luga o le tasi.

$$\sigma (X)={\sqrt {\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}}}.$$

Ma k = 1, o le q_{0.025} = 0.000982 ma le q_{0.975} = 5.024. O le reciprocals o le a aga'i o i latou nei na maua ai o ni factors e 0.45 ma 31.9 na taua i luga.

Ua ia faʻamauma e lea lenei o le lagona o le a se nuʻu leʻi tatau i le N=10 na tuʻufaʻatasiga ai i le saini faʻatupu o le sampulu. Ua maua ai lea ni tala e pei ona tuʻufaʻatasigaina i luga o le a launia:

• Aso 95% CI o le SD o le 0.69×SD i le 1.83×SD.
• E tusa ai ma le N=10, o le a mafai ona lea e le 2 ni le saini faʻatupu o le sampulu. Mo le sample population N=100, o lea ua tatau ona leaga lea i le 0.88×SD i le 1.16×SD. E tatau lava ona faʻamauma lea le SD o le sampulu ina ia mafai ona ia ia lētatau i le SD o le nuʻu o le saini faʻatupu. Ua tatau ona faʻamauma lea lea lea i le tautaiga o le a se tasi faʻataʻitaʻiga.

E mafai ona faʻaaogā ai foi nei fomula e lētatau le confidence interval o le variance o le a se tomai mea'ai mai le vaega o le a se eseʻese o le vaega eseʻese o le lagona, i le mafai ai le mānea o k e fai ma le numera o sae o le ala.

Fa'amauina i le fa'asologa masani

Mo se seti o data e lagolagoina ai ni numerā N > 4 ma se tulaga R, o le seʻia aafia ai lea o le saini faʻatupu o le sampulu o le R = 0.6. O se tusitusiga o le saini faʻatupu mo N > 100 o se vaega o data lagona i le talu ai o le mafai ona ia sili i se vaega eseʻese, ma e taua le mānea e faʻaaogā ai lenei o le gagana e faʻaalia ai le 95% o le suʻesuʻe i luga o le fale normali ua lētoa lea i ni saini faʻatupu ua i ai se 2 saini faʻatupu i luga o le maualuga ma le maualalo o le mēana, ma o lea ua tuʻufaʻatasiga ai i luga o le 95% aʻoga le tulaga o le R e faʻatusatusa ai le four saini faʻatupu ina ia saini ≈ R/4. O le malamalama lea i luga o le a leaga atu le Range Rule, e mafai ona faʻamautūina i le avanoa o le sampulu, ona o lea e lēlāoina ai le saini faʻatupu. O ni isi foafoa N (K(N)) o le range e faʻaaogā i le saini faʻatupu e faʻaali ai le R/K(N) mo isi tulaga o N ma isi nuʻu taua e le normali.

Fa'ailoga ma uiga fa'a-matematika

O le saini fa'atupu o le sampulu e le leaga i le fa'atauina o le nofoaga, ma e fa'atau atu i le fa'atau o le mata'upu taua. O lea ua ia feso'ota'i ai, mo se tau constat c ma mata'upu taua X ma Y:

$$M=\left({\bar {x}},{\bar {x}},{\bar {x}}\right)$$

O le saini fa'atupu o le mamalu o le lua mata'upu taua e mafai ona fa'amautū i le aofaiga o le saini fa'atupu o ia mata'upu taua ma le covariance i loto ia te ia:Template:Collapse top $M$ is on $L$ therefore $M=(\ell ,\ell ,\ell )$ for some $\ell \in \mathbb {R}$.

The line Template:Mvar is to be orthogonal to the vector from Template:Mvar to Template:Mvar. Therefore:

$${\begin{aligned}L\cdot (P-M)&=0\\[4pt](r,r,r)\cdot (x_{1}-\ell ,x_{2}-\ell ,x_{3}-\ell )&=0\\[4pt]r(x_{1}-\ell +x_{2}-\ell +x_{3}-\ell )&=0\\[4pt]r\left(\sum _{i}x_{i}-3\ell \right)&=0\\[4pt]\sum _{i}x_{i}-3\ell &=0\\[4pt]{\frac {1}{3}}\sum _{i}x_{i}&=\ell \\[4pt]{\bar {x}}&=\ell \end{aligned}}$$

Template:Collapse bottomua var=σ2 ma cov ua tofia le variance ma le covariance, fa'aaoga atu i ai.

O le tusitusiga o le mamalu o le sumi o le malosi fa'atupu e mafai ona fa'amautū i lenei tua ia taua e lua na tusia i luga o le data. I le fomula lalo, o le itulagi E e iloilo i lenei e tatau ona fa'amaonia le mafai o lenei mea, lea o le mea o le mānea.

$$f\left(x,\mu ,\sigma ^{2}\right)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$$

O le saini fa'atupu o le sampulu e mafai ona tusia pe fa'amautū ai:

$${\text{Proportion}}=\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)$$

Mo se nu'u taua e leaga i ai ni mafuaaga o le fa'amautū o le fa'atupu o le sampulu, o le a saunoa pe:

$${\text{Proportion}}\leq x={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right].$$

O le uiga o le faʻasalaga mo le malosi faʻatupu o se seti o ni tulaga e faʻaaoga i le tofa, o le faia lea e tatau ona tatalo ai pe o lea e tele i ai se faʻamautūina (maea).

Faʻamolemole, tilotilo i le fomula o le taua mo le saini faʻatupu e faʻailoilo, ma mo se tuʻuina o le saini faʻatupu o le sampulu.

Faamatalaina ma le faaaogaina

Faʻamatalaga o ni sampulu mai lua nuʻu taua e i ai le maea, ae ua leaga le saini faʻatupu. O le nuʻu pula o le mean 100 ma le SD 10; o le nuʻu lanu moana o le mean 100 ma le SD 50.

O le saini faʻatupu tele o se faʻatutū e faʻailoilo ai e le o mafai ona ia vaelua atu i le maea, ma o se saini faʻatupu liʻiti o le faʻailoilo ai ua tele i ai i luga o le maea.

Mo se faʻamatalaga, ua mafai ona fai ni nuʻu e lua e pei o le {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} ma {6, 6, 8, 8} e i ai le mean o le 7. O lenei o loʻo i ai se maea o 7, 5, ma 1 ona lenei. O le nuʻu e tolu na i ai se saini faʻatupu e le tele ona le lua na lenei, ona o ni vaega o le nuʻu e lagona atu i le 7. O lenei saini faʻatupu e tusa ai ma le vaega o le nuʻu taua na faia. Pe, mo se faʻaauauina, o le seti o le data {0, 6, 8, 14} e faʻalagolago i ai ni taimi a le toa o lona totonu i le nuʻu taua na faia, o lea ua maea o le 5 tausaga. Mo se tusa o se faʻamatalaga, o le nuʻu taua {1000, 1006, 1008, 1014} na faia e tusa ai ma ni fetau, ua tusia i le mita. O lea e maea o le mean 1007 mita, ma saini faʻatupu o 5 mita.

O le saini fa'atupu o se mea e mafai ona fa'aaogā e avea ai ma le fefe. I le tama'ita'i fizikasi, mo se faʻamatalaga, o le saini faʻatupu ua tukuina mai i luga o se tausaga o ni maea o tulaga o le faʻamauina o nisi tuʻuina. I le taimi e filifilia ai pe o lea e mafai ona tuʻufaʻatasiga ai ni maea i le tala sa tala, o le saini faʻatupu o ia maea o se mea faʻaaoga e leaga ai: pe o le mean o le maea e lē lagona atu i le faʻasalaga (ma le distanse e faʻasalaga ai i le saini faʻatupu), ona o le leaga ua aofia ma le faʻamautū o le tala, o le mea e filifilia ona suia ai le tautua. E tusa ai lea pe, i le taimi e filifilia ai pe o lea e lagona atu i luma o se tala lē masani, o le saini faʻatupu o ia tala e mafai ai ona tuʻufaʻatasiga i ni maea aofia e faʻatulagaina: pe o le mean o lenei maea e tolu se'i lagona atu i le tala (ma le distanse ua faʻasalaga i le saini faʻatupu), ona o le leaga ua talafeagai i le tala e tala, o le teoria sa tālā sa tala pe ua lē malosi. O lea ua mautinoa, ona o lenei ua teena ni solitulafono ua mautinoa, pe ua lē masani le mea ua faia, ma o le saini faʻatupu e faʻasalaga ai. Silia ma le prediction interval.

Inā ua mātaʻutino le saini faʻatupu e faʻailoilo i le va o ni maea o fetaui ma le maea, e mafai ona avea ma isi mea. O se faʻamatalaga lea o le maea o le malosi tuʻufaʻatasiga, sa mafai ona faʻamautū e maitauina i le average faʻamau, ma le leaga i le va o le maea o le malosi faʻatupu ua tofia i le saini faʻatupu.

Fa'ata'ita'iga fa'atatau

Fa'ata'ita'iga, su'esu'ega fa'apisinisi ma le fa'atatau

O le saini faʻatupu o loʻo faʻaaogā i le faʻamautūina o tulaga mai le lagona ma le faʻamautūina o le saini. Mo se faʻamautū e faia, o le malosi o ni mea faigaluega e ala i ai e pei o le tau o mea na tupu mai ai le ofisa o le malo. Afai e sese le faʻamauina o ni mea, o le a tatalo lea i ai o ni faamautūina e pei o le leaga o le malosi o loʻo tuai ma le faʻamautūina o le saini. Afai e faʻamautūina se sefa o ni mea faigaluega, o le malosi faʻatupu e mafai ona tuʻufaʻatasiga ai ni tau o se faʻamautūina e faia (99.9% pe a sau). Afai e tele nisi o le malosi, ona e mafai ona tusia le vaega o le malosi o loʻo tuai ma le faʻamautūina o le saini. Afai o loʻo tuai i fafo o le vaega na tuʻuina ai, ona e tatalo lea o loʻo i ai o ni faamautūina faʻapea. O ni faʻamautūina faʻamatalaina e pei o lenei na faia, e le o se faʻamautūina, o le faʻamautūina o le maliu na avanoa ai se malo i le tofiina o tusi paia, ona e tele se faʻamautūina e faia e le malo.

I le gagana o le gagana faʻamautū, o lea e faʻaaogā ai se teoria ua tuai. O le siʻi lava na tusiina e le gagana malosi i le "5 sigma" mo le faʻamoemoe o se vaega e pei o le ata. O le a siʻi sigma na faʻatautauina e tasi i le 3.5 miliona, o le mafuaʻaga na tali i ai le sili e faʻamoemoe i luma o se faamautūina e faia. O lenei vaega o le malosi na fesoasoani i le faia o se gaioi e faʻatonutonu ai le faitau o se partikel o loʻo faʻaaoga le Higgs boson, ua amata mai ai foʻi le faitauina o le faʻamatalaga faʻapitoa o le vevela gravetāsione.

Tau

I se faʻamatalaga tusitusi, faia le tausiga o le malosi faʻatupu mo le malosi malosi a le vaega e lua, e tasi i loko ma e lua i le itu tau. Ua fesoasoani ona tatalo e sili le tausaga o le malosi faʻatupu mo itu malae malae o le itu tau ma o le tino, peitaʻi, ina ia avanoaʻi le ʻamaiʻi itiiti o le tausaga o le malosi faʻatupu mo itu malae malae mo le itu tau ma o le tino. O lea lava, pe afai e faʻatulagaina e le malae i tua ma lona malosi faʻatupu, o le saini faʻatupu o le malosi faʻatupu mo le malae malae o le itu tau o loʻo i ai le itiiti i le malae malae o le itu tau mo le itu tau ma o le tino. I lenei taimi, e mafai ai ona e leʻi totoe le tausaga o le malosi faʻatupu o le malae malae mo le itu tau o loʻo i ai le itiiti i le itu tau ma o le tino.

Tupe

I le faletalimalo, o le saini faʻatupu o loʻo faʻaaogā e tusa ai ma le mea faigaluega e mafai ai ona galue ai i luga o le solitulafono o se mālō (mea mafai ona valaau, peipi, vaega, etc.), pe o le solitulafono o se pulega o mea faigaluega (fondi mamanu, fondi itulau, poʻo le ETF). O le soifua e se tagata lona tolu le gaioi i le faʻaaogā o le solitulafono i mālō o mea faigaluega, ona o le faʻaaogā lea o le solitulafono i mea faigaluega ma o le fondi a mea faigaluega, ma o le ETF. O le soifua o le mea faʻagaluega e amata mai ai i le faʻaaogā o le solitulafono e fale ma lona malosi faʻatupu i le solitulafono o se tagata. Ua mafai ona avea le soifua i le faʻamautūina o le lagona i le tulaga o le avanoa e faigaluega ai i luga o le mea faigaluega ma le poʻo le fondi ma ua mafai ona faʻaaogā le gaioi faʻatupu mo lea mea ma o se matematika faʻaasease mo le faʻaoti o le manatu o ni faʻamoemoe (e i ai le fesilafa i luga o le malaga-vaega). O le uiga o le faʻamoemoe o se mea gaioi o lea, e aumai ai i ai, o le lagona e faʻaaogā ai i le faʻaaogā o se mea gaioi o lea, ma ua mafai ona faʻaaogā lea i luga o le faʻamoemoe o le mea gaioi o lea (ua malolosi le faʻaaogā). I isi ituaiga upu, o le aumai lea ua ia faʻaliloina ai e le tagata, e mafai ai ona faʻaoti atu ai se malofie ona lagona i le faʻaaogā o se mea gaioi o lea poʻo le tulaga o le mafuaaga. I le taimi e taumafai ai ni faʻamoemoe, o le aumai lea ua ia iloa ai e le tagata le lagona e faʻaaogā ai i le faʻamoemoe ma le faʻaaogā o le malosi o ni faʻamoemoe lona tekinikolagi. O le saini faʻatupu o lea o le aumai lea ua ia iloa ai e le tagata le malosi o ni faʻamoemoe.

Le auina (pe faʻaautū) o le faʻamoemoe o se malolo a ni tulaga e tusa ai ma le ʻauala i se taimi e taofio ai le faʻamoemoe o le mālō. Mo le auala lava, le faʻauauina o le faʻamoemoe mai le faʻamoemoe o le tupe, o le tulaga ua mautinoa e aofia ai le faʻamoemoe o le mea faigaluega. Mo le tulaga uma, pei o le faʻamoemoe o le tupe mai le faʻamoemoe o le faʻamoemoe, o le tulaga ua faigofie e maua ai le leaga mai le faʻamoemoe. Le faia o le faʻamoemoe i le faʻamoemoe o le faʻamoemoe i le tupe o le mea faigaluega. Ua faʻatoʻese le malosi, ua le iloa ma le malosi o le mea faigaluega. Faigofie ona mauaina le manatu o le mea faigaluega ma le malosi o le faʻamoemoe ma le faʻamoemoe i le tupe. Le faigofie lea e tauina ai le malosi, o le malosi masani ona tuuina atu ai le gaioi o le faʻamoemoe. Ua maua ai le faʻamoemoe ma le faʻamoemoe o le tupe na faʻamoemoeina i luga o le gaioi o le malosi o le faʻamoemoe.

OO ni tulaga taimi faigaluega na iloa ai e le laʻititi o ni tulaga na faʻamautū ai le faʻamoemoe, ae e leʻi toe faʻaautū le mea faigaluega, pe le taitoa e uiga i luga o ni tulaga o le malosi o le faʻamoemoe. Ina ia amata le faʻaauau o ni tulaga o le malosi o le faʻamoemoe i luga o ni tulaga o le malosi o le faʻamoemoe, o le mea ua mautinoa e toe faʻaautū lenei mea faigaluega i se mea faigaluega, ona o le malosi o le faʻamoemoe ua mautinoa.

Fa'amatalaga fa'atusa

Mo se iloiloga e faʻaalia ai ni malamalama faʻavaivai ma faʻafitauli, ia mautinoa lea e amata ai i le tulaga o le taua o le tolu, x1, x2, x3. O lea e mautinoa ai se pepa P = (x1, x2, x3) i le R3. Ia talitonu le lalolagi L = {(r, r, r) : r ∈ R}. O lea o le "main diagonal" e ala i le fatu. Pe a oʻe toʻafaitauina ni tulaga o le tolu ua tau, ona o le malosi o le faʻamoemoe o le P o le 0 ma le P. O lea na tuuina atu i le fatu. E tatau ona ia amatalia le malosi o le faʻamoemoe ma le faʻamoemoe o le P. O lea na faʻafefea ai. Mo le tuai mai i le fatu L i le P, ona amatalia ai mai le pepa:

e na mafua ai ni malamalama o le faʻamoemoe ona o se mea masani ona lauina atu ni tulaga o le P i lea ua tuai ma ia.

O se faʻamatalaga itu, na amata e iloa ai le mamao i le P ma M (o lea foʻi le mamao faʻatasi i le P ma le lalolagi L) ∑ 𝑖 ( 𝑥 𝑖 − 𝑥 ¯ ) 2 o le mea lea na mafua ai ni malamalama o le faʻamoemoe o le vaega (x1, x2, x3), ua muamua e le faʻamoemoe o le māloa i le fā o le numera o le vaega (3 i lenei taimi).

Le tutusa o Chebyshev

E le masani foi ona mafai ona matou fai ma ni malamalama e masani ma le laitiiti pe afai o se fesiligia taua e aga'i mai le faʻamoemoe. O le Chebyshev's inequality na faʻamaonia ai e faʻatoʻese i ai, mo taitai nei i ni tulaga o le malosi o le faʻamoemoe, le mea e mafai ai ona matou iloa ai le taua o le faʻamoemoe e tusa ma lea e faʻamoemoeina i lalo.

Mamao mai uiga	La'ititi o tagata
${\sqrt {2}}\,\sigma$	50%
$2\sigma$	75%
$3\sigma$	89%
$4\sigma$	94%
$5\sigma$	96%
$6\sigma$	97%
$k\sigma$	$1-{\frac {1}{k^{2}}}$
${\frac {1}{\sqrt {1-\ell }}}\,\sigma$	$\ell$

Tulafono mo fa'amaumauga masani fa'asoa

O le lanu-moli o le uli ua faatasi ma se malosi o le faʻamoemoe i le itu e tasi o le fatu. Mo le faʻamoemoe o loʻo i luga o le itū taua, o le mea lea e tasi, o le 68.27 faapitoa o le taitai; pe faʻatasi lea o le malosi o le faʻamoemoe e lua (uli ma le uli-masani) e aofia ai le 95.45 faapitoa; e aofia ai le 99.73 faapitoa ma le malosi o le faʻamoemoe e tolu (malamalama, uli ma le uli-masani); ma le aofia ai le 99.994 faapitoa ma le malosi o le faʻamoemoe e fa (fa, malamalama, uli ma le uli-masani). O lona lua o le au e tolu, ua faʻapea foi ma le au naʻo se taitai o le malosi o le faʻamoemoe e tasi mai le faʻamoemoe.

O le teorema o le malamalama i le uli o le malamalama e naʻo le malosi o ni galuega taua o le malosi, faapitoa mo le faapitoa o ni gaosiga taua e ono leai se taimi, e aofia ai ni tulaga matū e leai se mea muamua ma e malamalama pea i le uli-masani faapitoa o le malosi ma le galuega taua, na na teena ai le normal distribution e malamalama, ma lea o se pisinisi e leai ni galuega taua.

lona lima, ia lē ūmalia ai lona lapa, e fesiligia ai le lima o le malamalama o le laititi o le malamalama, pe afai e leai se galuega taua o le malosi. E lē mafai ai ona ia faʻailoa i le uiga o le faʻamoemoe o le galuega taua ma le faʻamoemoe o le uli-masani, peitaʻi ua iloga ai foi i le malamalama ona o le faʻamoemoe ma le le faʻamoemoeina.

Pe a i ai ni malosi o le malamalama e amata i le uli-masani, ona mafua ai le taua o ni tulaga taua i totonu o le z standard deviations o le faʻamoemoe o le galuega taua o le malosi:

lona māsani ona o le galuega taua o le malosi. O le taua o ni itū taua e lē falosaga e tele atu pe tusa ma ni uiga, x, e faʻapipii i le fuesi o le malamalama:

Pe a i ai ni malosi o le malamalama e amata i le uli-masani, ona mafua ai e le 68 faapitoa o le taua o ni tulaga taua e tolu e i totonu o le taimi (matematika, μ ± σ, ma le mea e le ai, μ o le galuega taua), ona mafua ai e le 95 faapitoa e tolu e i totonu o le taimi (μ ± 2σ), ma le mea e le ai, le 99.7 faapitoa e tolu e i totonu o le taimi (μ ± 3σ). O le mea lena o loo i ai le 68–95–99.7 rule, pe le empirical rule.

Mo ni tulaga o z, o le malosi o ni gaosiga taua e taʻu i totonu ma tuʻu i tua o le faʻamoemoe, CI = (−zσ, zσ), o le aofia ai i lalo:

Pasene i totonu( z )

z (Panesene i totonu)

Tausisi faʻatau i le faʻaopoopo ma le faʻaopoopo

O le mean ma le standard deviation o se seti o datosi o loo faia e le tauva. I se mea lava, o le standard deviation o se maea e fa'amaeaina ai le malosi o le tatou tusi datosi uma uma i le mean. O lea o lea, ona o le standard deviation mai le mean e le uma foi mai ni isi itu. O le faamatalaga e tatau ona iloilo ai, o lea ua faia ai lea: ua ia faia x1, ... x1, ... e masani i tulaga:

$$\sigma (r)={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-r\right)^{2}}}.$$

Faʻaaogaina le kalokula po o le faʻaopoopo o le maʻalili, e tatau ona faʻaalia, o le σ(r) e iai se minimum faʻaopoopo i le mean:

$$r={\bar {x}}.\,$$

O le toʻelau o se seti o datosi e tatau ai ona tauva foi i le tusi o le vaega o le toʻelau, o le a ia e tauva ai le standard deviation ma le mean. O se numera e leiloa ai le mamalu o se mea.

Fua'iga masani o le uiga

I totonu, e talafeagai ai ia te outou se faʻamatalaga i le malosi o le mean ua mafai ona e maua. E mafai ona e maua i lea lava e tautua ai le faʻamalosi o le sampled mean. Afai e faamaonia le faʻamaoni o le vaega i le sample, o le faʻamalosi o le mean o lea e faʻatatau i le faʻamalosi o le distribution ma:

$$\sigma _{\text{mean}}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sigma$$

I lea lava o le tau, ona o le numera o manatu i le suʻesuʻega e faʻamauina ai le mataupu. E mafai ona faamatalaina lenei mea i lalo o le (vaavaalua o le mataʻititi):

$${\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&\equiv \sigma _{X}^{2}\\\operatorname {var} (X_{1}+X_{2})&\equiv \operatorname {var} (X_{1})+\operatorname {var} (X_{2})\\\end{aligned}}$$

O le faʻamaonia o le taimi faʻaʻaleleia o le lautele.

$$\operatorname {var} (cX_{1})\equiv c^{2}\,\operatorname {var} (X_{1})$$

ona o le a

$${\begin{aligned}\operatorname {var} ({\text{mean}})&=\operatorname {var} \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)={\frac {1}{N^{2}}}\operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)\\&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\operatorname {var} (X_{i})={\frac {N}{N^{2}}}\operatorname {var} (X)={\frac {1}{N}}\operatorname {var} (X).\end{aligned}}$$

O le tulaga i:

$$\sigma _{\text{mean}}={\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}.$$

I le galuega e faʻamauina ai le faʻasaunaina o le malosi masani σmean, e leai se isi mea e mafai ona iloaina, o le mea ua mautinoa, o le malosi masani o le atunuʻu atoa σ i le mua. Ae e leʻi iloa i lona faʻatoa malosi i le polokalama e pei ona galue ai. Mo le faʻaauauina pea, pe afai e galue ai se tasi o 10 galuega o se ata e leai se iloiloina, e mafai ona amataina le suʻesuʻe o le malamalama ma le malosi masani o le ata, ae e leai se mea e mafai ona faʻamauina i le mua. E mafai ona faʻamaonia le malosi masani o le atunuʻu atoa mai le amo, ma lenei lea e mafai ona mauaina se malosi faʻasaʻoina o le ata.

Metotia fa'atatau vave

O le folomia o nei ata ula e lua e mafai ona faʻamaonia ai se malosi masani e tusa ai ma le taimi na folomitia. O se seti o lua fuafuaga malamalama s1 ma s2 na faʻamauina i luga o se seti o ni faiga o le N i lauina o i latou o x, ua faʻailoa e x1, ... x1, ...:

$$s_{j}=\sum _{k=1}^{N}{x_{k}^{j}}.$$

A o le taumafai o nisi o nei folomitia, e mafai ona faʻaaʻoaʻi ai ai nisi o lea e faʻamauina, o lea ua mafai ona faʻamaonia ai lea lagona o le malosi masani folomia i le taimi o lea:

$$\sigma ={\frac {\sqrt {Ns_{2}-s_{1}^{2}}}{N}}$$

I le taimi a luga, o le N, peitai ua tautumai i luga, o le saita o le seti o fiafia (poʻo e mafai foi ona faʻasaʻosaʻo lea ma s0).

Feso'ota'i foi mo le malosi masani o le suʻesuʻega.

$$s={\sqrt {\frac {Ns_{2}-s_{1}^{2}}{N(N-1)}}}.$$

I le faia o se galuega faʻapotopotoina, ina ua faʻasalalau auaunaga o nisi o nei sao sj, ua manaomia ona talitonu le galuega faʻasala, le puipuiga o le faitau, ma le faigataʻaga o le faitau. O le metotia lalo na tusia e faʻamauina ai nisi o nei sao i le tulaga o le galuega faʻasala ma le taimi na teuteuina le latou faitau i le faitau. O lea ua mautinoa lea metotia e faʻamauina ai le suʻesuʻe o le n saofaʻi i le tele o nisi o nisi sao fou, e leai ni taula na fautua i le taimi o le galuega. O le tulaga lenei e apiti ma le suʻesuʻe o le malosi masani e mafai ona tuuina atu i lea taimi ina ia fiafia ai.

Mo k = 1,... , n :

$${\begin{aligned}A_{0}&=0\\A_{k}&=A_{k-1}+{\frac {x_{k}-A_{k-1}}{k}}\end{aligned}}$$

latalata i le A o le uiga.

$${\begin{aligned}Q_{0}&=0\\Q_{k}&=Q_{k-1}+{\frac {k-1}{k}}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)^{2}=Q_{k-1}+\left(x_{k}-A_{k-1}\right)\left(x_{k}-A_{k}\right)\end{aligned}}$$

Manatua: Q 1 = 0 talu ai k − 1 = 0 poʻo x 1 = A 1 .

Malosi Masani o le Suʻesuʻega:

$$s_{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{n-1}}$$

Malosi Masani o le Atunuʻu Atoa:

$$\sigma _{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{n}}$$

Fuafuaga mamafa

I le faʻamauina o nisi o faiga o le xi i le galuega a le aafia ai o latou malosi wi, o le saita o lea o s0, s1, s2 e mafai ona faʻamauina uma:

$$s_{j}=\sum _{k=1}^{N}w_{k}x_{k}^{j}.\,$$

O le a leai ni faigofie i le vaega o le malosi masani. O s0 o le a leai ni numera o nisi, ae o le a le ni numera o maloʻi.

O le metotia o le faʻamaoni i le malosi masani ma le faigaluega o le faia ai e mautinoa lea, ae o le a le ni auala o le a faʻaauau.

O se folomitia o le saita o malosi o latou tausaga o le a faʻamauina mo ia k mai le 1 i le n:

$${\begin{aligned}W_{0}&=0\\W_{k}&=W_{k-1}+w_{k}\end{aligned}}$$

ma luga o maloʻi i le a faʻaaoga ai le 1/σ e faʻaopoopoina ai e wi/Wn:

$${\begin{aligned}A_{0}&=0\\A_{k}&=A_{k-1}+{\frac {w_{k}}{W_{k}}}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)\\Q_{0}&=0\\Q_{k}&=Q_{k-1}+{\frac {w_{k}W_{k-1}}{W_{k}}}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)^{2}=Q_{k-1}+w_{k}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)\left(x_{k}-A_{k}\right)\end{aligned}}$$

I le tuʻuina muamua o le masini,

$$\sigma _{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{W_{n}}}\,$$

ma

$$s_{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{W_{n}-1}},$$

pe

$$s_{n}^{2}={\frac {n'}{n'-1}}\sigma _{n}^{2},$$

latalata i le n o nisi o mea uma, ma le n′ o nisi o mea e leai ni malosi.

O lea metotia luga e faʻamauina ai i luga e tatau ona mafai ai ona fai se metotia lagona o mea e tatau ona faia i le taimi o le galuega ma le malo, ma lea o loʻo mafai ai ona fai ai nisi o metotia ma lea e sili ona faʻamauina ai i luga.

Tala o le Vā

Na faʻatumuina le upu 'malosi masani' i le tusi e Karl Pearson i le 1894, i se taimi na taʻitaʻia ai lo latou faaauauina i le taimi o ia galuega. O lea ua faia i se faʻatonu mo nisi o suʻesuʻega ua na o latou itulau: ma lelei, na faʻaaoga e Gauss le upu 'mean error'.

Malosi Masani o le Itulau

O le Malosi Masani o le Itulau (SDI) e faʻaaoga i auala e faʻamaonia ai le malosi masani, ma faʻaaloalo atu i ai moa galuega o le fanau o le mataigatasi. E faʻamatalaina e lea pe aisea:

$${\text{SDI}}={\frac {{\text{Laboratory mean}}-{\text{Consensus group mean}}}{\text{Consensus group standard deviation}}}$$

Sualofoa A'oa'oga

Le malosi masani o le aʻoaʻo (lanu meamata) o se fausaga normal e lua-dimensions.

I itu e lua, e mafai ona fa'ata'ita'iina le va'aiga masani i le fa'asologa o le ellipse (silasila i le Multivariate normal distribution § Geometric interpretation).